Topologie engendrée - Math'φsics

Topologie engendrée

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Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Topologie engendrée par \(A\) \(\tau(A)\)
Plus petite Topologie contenant \(A\in{\mathcal P}(E)\).
- son existence est garantie par le fait qu'une intersection de topologies soit une topologie, et par l'existence de la Topologie discrète
- est obtenue en prenant des unions quelconques d'intersections finies d'éléments de \(A\) $$\tau(A)=\bigcup_{i}\bigcap_{j=1}^nA_{ij}$$(avec la convention qu'une intersection de \(0\) éléments est \(E\) et qu'une union de \(0\) éléments est \(\varnothing\))
- exemples : Topologie de l'ordre, Topologie initiale
- on dit parfois que \(A\) est une prébase de \(\tau(A)\)
- caractérisation : \(U\in\tau(A)\iff\) \(\exists A_1\subset A\) tq \(U=\bigcup A_1\) (\(U\) est réunion d'éléments qui engendrent)
Montrer que \(\tau(A)\) est obtenue en prenant les unions quelconques d'intersections finies d'éléments de \(A\). $$\tau(A)=\bigcup_{i}\bigcap_{j=1}^nA_{ij}$$

La convention donne le premier axiome.
On a \(\varnothing,E\in\tau(A)\) via la convention choisie

Les deux derniers axiomes se voient par distributivité.
Par distributivité des unions et des intersections, il est aisé de voir que l'ensemble des unions quelconques d'intersections est une topologie.

C'est la plus petite topologie contenant \(A\), car elle ne contient que les éléments nécessaires.

De plus il est également clair que toute topologie contenant \(A\) doit nécessairement contenir les unions quelconques d'intersections finies de \(A\).
Rétroliens :
- Pré-base
- Topologie de l'ordre